1.已知拋物線x2=ay的焦點恰好為雙曲線y2-x2=2的上焦點,則a=()
A.1 B.4 C.8 D.16
2.(2014遼寧,文8)已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準線上,記C的焦點為F,則直線AF的斜率為()
A.- B.-1 C.- D.-
3.拋物線y=-4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是()
A.- B.- C. D.
4.拋物線C的頂點為原點,焦點在x軸上,直線x-y=0與拋物線C交于A,B兩點,若P(1,1)為線段AB的中點,則拋物線C的方程為()
A.y=2x2 B.y2=2x C.x2=2y D.y2=-2x
5.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線與x軸的交點為K,點A在C上,且|AK|=|AF|,則AFK的面積為()
A.4 B.8 C.16 D.32
6.以拋物線x2=16y的焦點為圓心,且與拋物線的準線相切的圓的方程為 .
7.已知拋物線x2=2py(p為常數,p≠0)上不同兩點A,B的橫坐標恰好是關于x的方程x2+6x+4q=0(q為常數)的兩個根,則直線AB的方程為 .
8.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點,A,B是C上的兩個點,線段AB的中點為M(2,2),求ABF的面積.
9.已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程;
(2)是否存在正數m,對于過點M(m,0),且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
10.已知拋物線y2=2px,以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是()
A.相離 B.相交 C.相切 D.不確定
11.設x1,x2R,常數a>0,定義運算“*”,x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,則動點P(x,)的軌跡是()
A.圓 B.橢圓的一部分
C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分
12.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為l,P是l上一點,Q是直線PF與C的一個交點.若=4,則|QF|=()
A. B.3 C. D.2
13.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A,B兩點,A,B在x軸上的正射影分別為D,C.若梯形ABCD的面積為12,則p= .
14.(2014大綱全國,文22)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|=|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點,若AB的垂直平分線l'與C相交于M,N兩點,且A,M,B,N四點在同一圓上,求l的方程.
15.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,A為C上異于原點的任意一點,過點A的直線l交C于另一點B,交x軸的正半軸于點D,且有|FA|=|FD|.當點A的橫坐標為3時,ADF為正三角形.
(1)求C的方程;
(2)若直線l1l,且l1和C有且只有一個公共點E,
證明直線AE過定點,并求出定點坐標;
ABE的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由.
參考答案及解析：
1.C 解析:根據拋物線方程可得其焦點坐標為,雙曲線的上焦點為(0,2),依題意則有=2,解得a=8.
2.C 解析:由已知,得準線方程為x=-2,
F的坐標為(2,0).
又A(-2,3),直線AF的斜率為k==-.故選C.
3.B 解析:拋物線方程可化為x2=-,其準線方程為y=.
設M(x0,y0),則由拋物線的定義,可知-y0=1y0=-.
4.B 解析:設A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程為y2=2px,
則兩式相減可得2p=×(y1+y2)=kAB×2=2,
即可得p=1,故拋物線C的方程為y2=2x.
5.B 解析:拋物線C:y2=8x的焦點為F(2,0),準線為x=-2,K(-2,0).
設A(x0,y0),過點A向準線作垂線AB垂足為B,則B(-2,y0).
AK|=|AF|,
又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,
由|BK|2=|AK|2-|AB|2,
得=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,
解得A(2,±4).
故AFK的面積為|KF|·|y0|
=×4×4=8.
6.x2+(y-4)2=64 解析:拋物線的焦點為F(0,4),準線為y=-4,
則圓心為(0,4),半徑r=8.
故圓的方程為x2+(y-4)2=64.
7.3x+py+2q=0 解析:由題意知,直線AB與x軸不垂直.
設直線AB的方程為y=kx+m,與拋物線方程聯立,得x2-2pkx-2pm=0,
此方程與x2+6x+4q=0同解,
則解得
故直線AB的方程為y=-x-,
即3x+py+2q=0.
8.解:由M(2,2)知,線段AB所在的直線的斜率存在,
設過點M的直線方程為y-2=k(x-2)(k≠0).
由消去y,
得k2x2+(-4k2+4k-4)x+4(k-1)2=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,
x1x2=.
由題意知=2,
則=4,解得k=1,
于是直線方程為y=x,x1x2=0.
因為|AB|=|x1-x2|=4,
又焦點F(1,0)到直線y=x的距離d=,所以ABF的面積是×4=2.
9.解:(1)設P(x,y)是曲線C上任意一點,
則點P(x,y)滿足-x=1(x>0),
化簡得y2=4x(x>0).
(2)設過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2).
設l的方程為x=ty+m.
由得y2-4ty-4m=0,
Δ=16(t2+m)>0,
于是
因為=(x1-1,y1),
=(x2-1,y2),
所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.
又<0,
所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③
因為x=,所以不等式可變形為
+y1y2-+1<0,
即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.
將代入整理得m2-6m+1<4t2.
因為對任意實數t,4t2的最小值為0
所以不等式對于一切t成立等價于m2-6m+1<0,
即3-20),則FD的中點為.
因為|FA|=|FD|,
由拋物線的定義知3+,
解得t=3+p或t=-3(舍去).
由=3,解得p=2.
所以拋物線C的方程為y2=4x.
(2)由(1)知F(1,0).
設A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),
因為|FA|=|FD|,
則|xD-1|=x0+1.
由xD>0得xD=x0+2,
故D(x0+2,0).
故直線AB的斜率kAB=-.
因為直線l1和直線AB平行,設直線l1的方程為y=-x+b,
代入拋物線方程得y2+y-=0,
由題意Δ==0,
得b=-.
設E(xE,yE),
則yE=-,xE=.
當≠4時,kAE==-,
可得直線AE的方程為y-y0=(x-x0),
由=4x0,整理可得y=(x-1),
直線AE恒過點F(1,0).
當=4時,直線AE的方程為x=1,過點F(1,0).
所以直線AE過定點F(1,0).
由知直線AE過焦點F(1,0),
所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.
設直線AE的方程為x=my+1,
因為點A(x0,y0)在直線AE上,
故m=.
設B(x1,y1),
直線AB的方程為y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,
可得x=-y+2+x0,
代入拋物線方程得y2+y-8-4x0=0.
所以y0+y1=-,
可求得y1=-y0-,
x1=+x0+4.
所以點B到直線AE的距離為
d=
==4.
則ABE的面積S=×4≥16,
當且僅當=x0,即x0=1時等號成立.
所以ABE的面積的最小值為16.
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